TIC 3: TRANSFORMADA DE LAPLACE
La
transformada de la Place.
Primero presentemos una definición
de la transformada de Laplace y un breve análisis
de la condici6n para la existencia
de ésta y después ofreceremos ejemplos de la derivación de las transformadas de
Laplace en varias funciones, comunes.
Definamos:
f(t) = una funci6n del tiempo 1 tal
que f(t) = 0 para t < 0
s = una variable compleja
ℒ = un símbolo
operativo que indica que la cantidad a la que antecede se va a
transformar mediante la integral de Laplace
F(s) = transformada de Laplace de
f(t)
A continuación, la transformada de
Laplace de f(t) se obtiene mediante:
El proceso inverso de encontrar la función del tiempo f(t) a partir de la transformada de Laplace F(s) se denomina transformada inversa de Laplace. La notación para la transformada inversa de Laplace es L^(-1). se encuentra a partir de F(s) mediante la siguiente integral de inversión:
Existencia de la transformada de Laplace.
La transformada de Laplace de una función f(t) existe si la integral de Laplace converge. La integral convergirá si f(t) es seccionalmente continua en cada intervalo finito en el rango t > 0 y si es de un orden exponencial conforme t tiende a infinito. Se dice que una función f(t) es de orden exponencial si existe una constante o real positiva tal que la función tiende a cero conforme t tiende a infinito. e^(-σt) |f(t)|.
A continuación, derivaremos las transformadas de Laplace de algunas funciones que se
encuentran con frecuencia.
Función exponencial.
Considere la función exponencial en donde A y a son constantes. La transformada de Laplace de esta función exponencial se obtiene del modo siguiente:
f(t) = 0, para t < 0
=Ae^(-σt), para t ≥ 0
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